Rangkorrelation nach Spearman

Author: Hans Lohninger

Für die Berechnung des Korrelationskoeffizienten müssen die zwei Proben normal verteilt sein. Im Fall von nicht normalen Verteilungen führt der Korrelationskoeffizient nach Pearson zu falschen Ergebnissen. Eine Lösung für diese Situation kann die Verwendung der Spearman'schen Rangkorrelation r_s sein. Grundsätzlich unterscheidet sich r_s von der Korrelation nach Pearson nur darin, dass die Werte zu Rängen umgeformt werden, bevor der Korrelationskoeffizient berechnet wird. Die numerische Äquivalenz gilt nur falls keine Bindungen (gleiche Werte mehrfach) auftreten, andernfalls wird sich der Spearman'sche Koeffizient vom Pearson'schen Koeffizienten unterscheiden.

Die Gleichung für den Korrelationskoeffizienten kann vereinfacht werden, indem man die Beobachtungen durch die entsprechenden Rangzahlen ersetzt. Daraus ergibt sich folgende Formel:

mit D_i als Differenzen der Rangzahlen. Die Gleichung ist gültig, wenn n größer als 4 ist.

Beispiel

Zwei Personen verkosten 10 italienische Rotweine und bewerten sie mit einer ordinalen Notenskala von 1 bis 5. Die Ergebnisse der Bewertung sind wie folgt:

                                 Noten      Noten
                    Wein Nr.    Person 1   Person 2
                       1           1          2
                       2           2          3
                       3           4          5
                       4           5          4
                       5           2          2
                       6           2          2
                       7           4          3
                       8           3          4
                       9           1          3
                      10           4          2

                                 Noten     Rang  Rang
                    Wein Nr.    Person 1        (Bindungen)
                       1           1         1    1.5
                       9           1         2    1.5
                       6           2         3     4
                       5           2         4     4
                       2           2         5     4
                       8           3         6     6
                      10           4         7     8
                       7           4         8     8
                       3           4         9     8
                       4           5        10    10


                                 Noten     Rang  Rang
                    Wein Nr.    Person 2        (Bindungen)
                       5           2         1    2.5
                       1           2         2    2.5
                      10           2         3    2.5
                       6           2         4    2.5
                       2           3         5     6
                       7           3         6     6
                       9           3         7     6
                       8           4         8    8.5
                       4           4         9    8.5
                       3           5        10    10

Die fertige Rangtabelle inkludiert auch die Differenzen der Ränge und die quadrierten Differenzen:

Wine Nr.    Person 1  Rang       Person 2  Rang      Rang     quadrierte
                                                   Differenz    Diff.
   1           1       1.5         2       2.5        -1          1
   2           2        4          3        6         -2          4
   3           4        8          5       10         -2          4
   4           5       10          4       8.5        1.5        2.25
   5           2        4          2       2.5        1.5        2.25
   6           2        4          2       2.5        1.5        2.25
   7           4        8          3        6          2          4
   8           3        6          4       8.5       -2.5        6.25
   9           1       1.5         3        6        -4.5       20.25
  10           4        8          2       2.5        5.5       30.25
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                                             Summe    0.0       76.50

Die Summe der quadrierten Differenzen wird nun zur Berechnung des Spearman'schen Rangkorrelationskoeffizient verwendet:

r_s = 1 - (6*76.5/(10*(100-1)) = 0.5364