Zeitreihen - Definition von ARIMA-Modellen

Author: Hans Lohninger

ARIMA-Modelle (ARIMA = Auto-Regressive Integrated Moving Average) bilden eine leistungsstarke Modellklasse, die auf viele reale Zeitreihen angewendet werden können. Sie basieren auf drei Teilen: (1) einem autoregressiven Teil, (2) einem Beitrag aus einem gleitenden Mittelwert und (3) einem Teil, der die erste Ableitung der Zeitreihe umfasst.

Der autoregressive Teil (AR) des Modells hat seinen Ursprung in der Theorie, dass individuelle Werte der Zeitreihe durch lineare Modelle, die auf vorhergehenden Beobachtungen basieren, beschrieben werden können. Zum Beispiel: x(t) = 3 x(t-1) - 4 x(t-2). Die allgemeine Formel zur Beschreibung von AR[p]-Modellen (autoregressiven Modellen) ist:

Die Ordnung des Modells wird durch p bestimmt.

Bei Moving-Average-Modellen (MA-Modelle) geht man davon aus, dass die Werte von Zeitreihen in Abhängikeit der Schätzfehler ausgedrückt werden können. Vergangene Schätz- oder Vorhersagefehler werden bei der Abschätzung des nächsten Werts der Zeitreihe miteinbezogen. Der Unterschied zwischen der Schätzung x(t) und dem wirklich beobachteten Wert x(t) wird als ε(t) bezeichnet. Zum Beispiel: x(t) = 3 ε(t-1) - 4 ε(t-2).

Die allgemeine Beschreibung von MA[q]-Modellen ist:

Wenn man AR- und MA-Modelle kombiniert, erhält man ARMA-Modelle. Eine Voraussage mit einem ARMA[p,q]-Modell wird durch die folgende Gleichung beschrieben:

Nach einer zusätzlichen Differenzierung der Zeitreihe und einer Integration nach Anwenden des Modells, spricht man von ARIMA-Modellen. Sie werden eingesetzt, wenn die Filterung eines Trends benötigt wird. Der Parameter d des ARIMA[p,d,q]-Modells bestimmt die Zahl der Differenzierungsschritte:

• Zuerst wird die Zeitreihe d-mal abgeleitet, bis sie stationär ist.
• Dann wird ein geeignetes ARMA[p,q]-Modell an die resultierende Serie angepasst.
• Zuletzt müssen die geschätzten Voraussagen d-mal integriert werden.

Es wurden noch viele andere Varianten von ARIMA-Modellen zur Behandlung von Spezialfällen eingeführt. Hier wird die gesamte Gruppe solcher Modelle mit dem Begriff ARIMA-Modelle zusammengefasst. Da ihre Charakteristiken durch die drei Parameter p, d und q bestimmt werden, werden sie auch als ARIMA[p,d,q]-Modelle bezeichnet. Wobei der Parameter p die Ordnung des autoregressiven Teils, der Parameter q die Ordnung des Moving-Average-Teils und d die Zahl der Differenzierungsschritte beschreibt.