Kurvenanpassung

Author: Hans Lohninger

Nehmen wir an, wir hätten 7 Punkte gemessen und eine Kalibration durchzuführen, d.h. eine Kurve zu finden, die den Zusammenhang von einer Messgröße (z.B. die Extinktion bei einer bestimmten Wellenlänge) mit der eigentlich interessierenden Größe (z.B. die Konzentration des gesuchten Stoffes) beschreibt.

Messpunkte zur Kalibration.

Je nachdem, welcher Zusammenhang erwartet wird (falls man das überhaupt weiß), kann man nun eine passende Funktion zwischen die Punkte hineinlegen. In vielen Fällen legt man "bloß" eine Gerade durch die Punkte (meist mit Hilfe der Regression), jedoch gibt es in der Praxis sehr oft Situationen bei denen der Zusammenhang nicht gerade ist, man also eine Kurve (welcher Art auch immer) durch die Messpunkte legen muss. Dabei gibt es grundsätzlich zwei Möglichkeiten: zum einen eine Kurve die ähnlich wie die Regression als Ausgleichskurve angelegt wird, und zum anderen eine Kurve die alle Messpunkte mit einschließt, bei der also die Messpunkte automatich auf der Kurve liegen, auch wenn die Messpunkte fehlerhaft sind.

Grundsätzlich gilt, dass je mehr Freiheitsgrade eine Funktion besitzt, um so mehr wird sich die Funktion den Daten anpassen. Allerdings bedeutet eine bessere Anpassung nicht automatisch ein besseres Modell, das bessere Schätzwerte liefert. Meist ist es sogar umgekehrt so, dass eine Überanpassung zur Verschlechterung der Schätzwerte führt (besonders im Extrapolationsbereich).

	Verschiedene Kalibrationsfunktionen: Gerade und Parabel sind Ausgleichskurven, während ein normales kubisches Spline immer durch die Messpunkte geht. Welche dieser Funktionen tatsächlich die bessere Kalibration liefert, hängt vom "wirklichen" Zusammenhang ab.

Hinweis:

Grundsätzlich sollte man den Typ der Funktion, die angepasst werden soll, immer vor der Anpassung auswählen, und auch gute Gründe haben, eine bestimmte Funktion zur Kurvenanpassung zu verwenden. Die Vorgangsweise, alle möglichen Funktionen durchzuprobieren und dann die "beste" auszuwählen, ist sehr problematisch und kann bedingt durch Ausreißer zu unbrauchbaren Approximationen führen.