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Filter
Mathematischer Hintergrund
Der Prozess des Filterns, der das Glätten als Spezialfall beinhaltet,
kann mathematisch auf verschiedene Arten beschrieben werden:
Lineare AlgebraDie Glättung eines Signals kann ausgeführt
werden, indem man ein verschiebbares Fenster über das Signal legt und
die Datenpunkte im Fenster mittelt. Im Allgemeinen ist es ein
gewichteter Mittelwert, wobei die Gewichtungsfaktoren als
Filterkoeffizienten bezeichnet werden. Wir können die gewichtete
Mittelwertsbildung in zwei Berechnungsschritte aufspalten:
- eine elementweise Multiplikation der Datenpunkte mit den
Filterkoeffizienten
- die Summierung aller gewichteten Punkte
Diese Vorgangsweise ist identisch mit der Berechnung
des Skalarprodukts zweier Vektoren, wobei ein Vektor aus den
Datenpunkten besteht und der andere Vektor aus den Filterkoeffizienten. Wir
können die Wahl des Fensters in das Skalarprodukt miteinbeziehen, indem wir die
Werte für die Filterkoeffizienten außerhalb des Fensters gleich null setzen.
Die Bewegung des Fensters verlangt es, die Filterkoeffizienten
nach jedem Schritt um eine Messung zu verschieben, was zu einer Reihe
von Skalarprodukten führt, die als Matrixmultiplikation
zusammengefasst werden können.
FaltungDie mathematische Operation der Faltung (oft durch einen Stern
repräsentiert) wird durch die folgende Gleichung beschrieben:
 .
Hier ist x das Signal; h steht für die Filterkoeffizienten;
y ist das geglättete Signal; j ist der Index der
Datenpunkte; und i ist der Index für die
Filterkoeffizienten. Für den Fall, dass wir 2n + 1 Filterkoeffizienten
haben, reicht der Index i von -n bis +n. Also erstreckt sich unser
Datenfenster nur n Punkte zur Rechten und zur Linken des von uns bedachten
Punktes. Diese Vorgangsweise ist für die Berechnung effizienter als die
Matrixmultiplikation, wo die Verknüpfung mit dem Fenster durch eine große
Zahl von Multiplikationen mit null durchgeführt werden muss.
Bei genauer Betrachtung sehen wir, dass die Faltungsgleichung eigentlich
für Zeit umgekehrte Filterkoeffizienten gilt, weil wir h(-n) mit x(j -(-n)) =
x(j + n) multiplizieren. Für die meisten Glättungsfilter hat das allerdings
keine Bedeutung, da die Koeffizienten symmetrisch um den Mittelwert sind.
Faltung in der Frequenzdomäne
Die Faltung in der Frequenzdomäne kann durch folgende Gleichung beschrieben werden:
Die großgeschriebenen Variablen stehen für die Fourier transformierten
Variablen y, x und h. Die Frequenz wird durch w
beschrieben. In der Fourier-Domäne reduziert sich die Faltung zu einer
elementweisen Multiplikation der Signale und der Filterkoeffizienten. H wird
auch Impulsantwort genannt, weil sie aus der Faltung eines Impulses mit h
entsteht.
State-Space-NotationDie einfachste Art, Filter zu
beschreiben, ist die so genannte State-Space-Notation:
 .Dies ist die verallgemeinerte Version der Faltungsgleichung:
Hier sind die Filterkoeffizienten durch ai und bi
gegeben und der Index i läuft von 0 bis ki, anstatt von -n bis +n.
Die zweite Summe auf der rechten Seite beinhaltet Beiträge von schon gefilterten
Datenpunkten. Abhängig davon, ob die Filterkoeffizienten ai und
bi gleich null sind, haben die Filter unterschiedliche Eigenschaften
und Namen.
- Wenn alle bi Koeffizienten gleich null sind, wird das Filter
Infinite Impulse Response (IIR) oder rekursives Filter genannt.
Autoregressive (AR) zufällige Prozesse können durch Anwenden dieses Filters
auf zufällige Eingaben produziert werden.
- Wenn alle ai Koeffizienten gleich null sind, wird das Filter
Finite Impulse Response (FIR) oder nicht rekursives Filter genannt.
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Bivariate Daten 
