Bedingte Wahrscheinlichkeit

Eine bedingte Wahrscheinlichkeit ist definiert als die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses unter der Voraussetzung, dass ein anderes Ereignis eintritt. Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A vom Ereignis B beeinflusst wird. Formal wird eine bedingte Wahrscheinlichkeit als

dargestellt (sprich: die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A unter der Voraussetzung, dass B stattfindet).

Beispiel: Wir werfen einen Würfel und definieren das Ereignis A {gerade Zahlen} und B {Zahlen kleiner oder gleich 3}. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit von A, wenn uns jemand einen Hinweis gibt, dass B eingetreten ist? Wenn B wahr ist, haben wir drei mögliche Probenpunkte: 1, 2 und 3. Also ist, nachdem wir diese Information erhalten haben, die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl gerade ist, 1/3. Ohne diese vorherige Information wäre die Wahrscheinlichkeit 1/2.

Die Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit P(A | B) beinhaltet zwei Schritte. (1) Wir müssen erkennen, dass die Tatsache, dass das Ereignis B eingetreten ist, unseren Ereignisraum auf den Ereignisraum von B reduziert. Deshalb können nur diejenigen Probenpunkte des Ereignisses A auftreten, die auch zum Ereignis B gehören. Dies sind die Probenpunkte der Schnittmenge von A und B. (2) Weil die Wahrscheinlichkeit das Verhältnis zwischen der Anzahl der Probenpunkte eines Ereignisses und der Gesamtanzahl an Probenpunkten ist, ist die bedingte Wahrscheinlichkeit gleich

Das ist richtig unter der Bedingung, dass P(B) ungleich null ist. Die Gleichung passt die Wahrscheinlichkeit von A Ç B von seinem Originalwert im gesamten Probenraum an die Wahrscheinlichkeit im reduzierten Probenraum B an.

Schnittmenge von Ereignissen

Die Wahrscheinlichkeit einer Schnittmenge von Ereignissen wird mit Hilfe der Multiplikationsregel berechnet, die von bedingten Wahrscheinlichkeiten Gebrauch macht. Wir arrangieren ganz einfach die Gleichung für die bedingte Wahrscheinlichkeit

P(B | A) = P(A Ç B) / P(A)

neu und erhalten:

Beispiel:Wir haben 10 Murmeln, 4 rote und 6 blaue; wir nehmen wahllos zwei heraus. Nun definieren wir die Ereignisse A als "die erste Murmel ist rot" und B als "die zweite Murmel ist rot". Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Murmeln rot sind P(A Ç B)?
Weil wir die Murmeln nacheinander herausnehmen können, ist die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Murmel rot ist 4/10. Zwei rote Murmeln zu bekommen, kann als die bedingte Wahrscheinlichkeit, eine zweite rote Murmel zu bekommen P(B|A) - wenn gegeben ist, dass die erste rot ist -, angesehen werden. Nach der Entfernung der ersten Murmel, hat sich der Probenraum verändert: Wir haben nun 3 rote und 6 blaue Murmeln, also ist die Wahrscheinlichkeit eine rote Murmel zu bekommen nun P(B|A) = 3/9.
P(A Ç B) = P(A) . P(B|A) = 4/10 * 3/9 = 2/15. Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten von Schnittmengen kann in einem Baumdiagramm dargestellt werden: