U-Test nach Wilcoxon, Mann und Whitney

Der U-Test prüft folgende Nullhypothese: Die Wahrscheinlichkeit einer Beobachtung aus den beiden Grundgesamtheiten ist für jede der beiden Grundgesamtheiten gleich (d.h. die Verteilungen sind gleich):

H0: F₁(x) = F₂(x) für alle x
H1: F₁(x) != F₂(x) für mindestens ein x

Vorgangsweise:

Das Prinzip des U-Tests basiert auf folgender Überlegung: Sortiert man die Messwerte der beiden Stichproben in einer gemeinsamen Liste in aufsteigender Reihenfolge, so werden die Rangsummen der beiden Stichproben sich nur dann unterscheiden, wenn im Durchschnitt die beiden Stichproben sich unterscheiden (also die eine Stichprobe im Durchschnitt kleinere Werte aufweist als die andere).

Zur Berechnung der Prüfgröße U werden die Stichproben gemeinsam sortiert und jeweils notiert welcher Messwert zu welcher Stichprobe gehört. Die Summe der Rangzahlen für die Stichprobe 1 sei R₁, die für die Stichprobe 2, R₂. Dann gilt für die Testgröße U:

U₁ = n₁*n₂ + n₁(n₁+₁)/2 - R₁
U₂ = n₁*n₂ + n₂(n₂+₁)/2 - R₂

Die gesuchte Prüfgröße U ist die kleinere von U₁ und U₂:

U = min (U₁, U₂)

Die Nullhypothese H₀ wird verworfen, wenn der berechnete U-Wert kleiner oder gleich dem kritischen Wert U_krit(n₁, n₂, α). Das Verwerfen der Nullhypothese bedeutet, dass die Verteilungen nicht gleich sind. Da man aber als Voraussetzung gleiche Verteilungsformen annimmt, folgt daraus, dass die Mittelwerte ungleich sein müssen, falls die Nullhypothese abgelehnt wird.