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Savitzky-Golay Filter
Mathematische Details
Ein Polynomfilter kann als eine stückweise Anpassung einer Polynomfunktion an
das Signal angesehen werden. Die Anpassung wird durch eine
Least-Squares-Schätzung (LS-Schätzung) zwischen der Matrix
X und dem Vektor y durchgeführt:
y = Xb.Die Standard LS-Lösung ist gegeben durch:
b =
(XTX)-1XTy.
Die geschätzten Werte, die für die Glättung verwendet werden, sind:
 = Xb =
X(XTX)-1XTy =
Hy.
Das Produkt H =
X(XTX)-1XTy wird
auch die "hat"-Matrix genannt und ist für jedes y für ein gegebenes
Polynom dasselbe. Sie kann also einmal berechnet und für eine spätere Anwendung
gespeichert werden. Das haben Savitzky und Golay für Polynome
verschiedenster Ordnung und Stücke verschiedener Länge n (Originalpublikation in
 , Korrekturen davon in und ) getan.
Anmerkung: Die (n+1)-te Zeile der H-Matrix enthält die tabulierten
Koeffizienten für die Savitzky-Golay-Filter. Wir verwenden nur die Abschätzung
für den Mittelpunkt des sich bewegenden Fensters für die Glättung. Die anderen
Zeilen werden nur für die Glättung des Endpunkts des Signals verwendet, wenn
weniger Werte als die Fenstergröße 2n+1 übrig sind.
Die Matrix X ist die so genannte Vandermond-Matrix. Wenn wir
eine Polynomfunktion der Ordnung p anpassen wollen, bekommen wir eine Reihe von
Gleichungen der folgenden Form:
yi = bp . xip + bp-1 .
xip-1 + ... b1 . xi1 +
b0 . xi0 , for i = 1 .. 2n+1.
Im
Fall, dass n=1, x = [-1 0 +1] erhalten wir:
 ,
das in den Filterkoeffizienten b = [0 1 0] resultiert. In diesem speziellen
Fall würde man eigentlich keine Berechnungen ausführen, sondern nur die
Originalwerte heranziehen. Für n = 5 und p = 3 sind die Filterkoeffizienten b =
[-0.0857 0.3429 0.4857 0.3429 -0.0857].
Als einen Spezialfall können wir auch den gleitenden
Mittelwert ableiten, d.h. wir wollen eine konstante Linie anpassen (ein
Polynom nullter Ordnung):
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Bivariate Daten 
