Erwartungswert

Der mathematische Erwartungswert ist ein Konzept, das oft missverstanden und mit dem Mittelwert verwechselt wird. In der Tat "kann" der Erwartungswert der Mittelwert sein, aber er muss es nicht unbedingt sein. Der Erwartungswert ist eher ein allgemeines Konzept, das einen Formalismus bietet, um den Erwartungswert einer zufälligen Variablen (einer Funktion) für eine Grundgesamtheit mit einer bekannten Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion zu berechnen. Der Erwartungswert einer kontinuierlichen zufälligen Variablen kann folgendermaßen berechnet werden:

Die korrespondierende Gleichung für diskrete zufällige Variablen lautet:

n ... Anzahl an Beobachtungen
g(x) ... zufällige Variable
f(x) ... Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion
p(xi) ... Wahrscheinlichkeit der Beobachtung i

Der Erwartungswert kann dazu verwendet werden, den Mittelwert zu berechnen, indem man einfach g(x) = x als die zufällige Variable verwendet:

Oder für eine diskrete zufällige Variable:

Angenommen die Wahrscheinlichkeiten aller n Beobachtungen p() ist gleich, z.B. p() = 1/n, dann kann diese Gleichung zu

reduziert werden. Es gibt einige Regeln für Erwartungswerte, die dazu verwendet werden können, den Erwartungswert von komplizierteren Zufallsprozessen abzuleiten.