Erwartungswert

Author: Hans Lohninger

Der mathematische Erwartungswert ist ein Konzept, das oft missverstanden und mit dem Mittelwert verwechselt wird. In der Tat "kann" der Erwartungswert der Mittelwert sein, aber er muss es nicht unbedingt sein. Der Erwartungswert ist eher ein allgemeines Konzept, das einen Formalismus bietet, um den Erwartungswert einer Zufallsvariablen (einer Funktion) für eine Grundgesamtheit mit einer bekannten Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion zu berechnen. Der Erwartungswert einer kontinuierlichen Zufallsvariablen kann folgendermaßen berechnet werden:

Die korrespondierende Gleichung für diskrete Zufallsvariablen lautet:

n ... Anzahl an Beobachtungen
g(x) ... Zufallsvariable
f(x) ... Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion
p(xi) ... Wahrscheinlichkeit der Beobachtung i

Der Erwartungswert kann dazu verwendet werden, den Mittelwert zu berechnen, indem man einfach g(x) = x als die Zufallsvariable verwendet:

Oder für eine diskrete Zufallsvariable:

Angenommen die Wahrscheinlichkeiten aller n Beobachtungen p() ist gleich, z.B. p() = 1/n, dann kann diese Gleichung zu

reduziert werden. Es gibt einige Regeln für Erwartungswerte, die dazu verwendet werden können, den Erwartungswert von komplizierteren Zufallsprozessen abzuleiten.