Zentraler Grenzwertsatz

Author: Hans Lohninger

Allgemein gesprochen, sind zentrale Grenzwertsätze schwach-konvergente Resultate der Wahrscheinlichkeitstheorie. Diese Lehrsätze drücken die Tatsache aus, dass die Summe vieler unabhängiger, gleich verteilter Zufallsvariablen zu einer "Attraktor-Verteilung" tendiert. Der bekannteste Vertreter dieser Grenzwertsätze wird als "zentraler Grenzwertsatz" bezeichnet und sagt aus, dass die Summe unabhängiger Variablen mit endlicher Varianz normalverteilt ist. Da es in der Natur viele Prozesse mit endlicher Varianz gibt, erklärt dies das ubiquitäre Auftreten der Normalverteilung.

Ein Beispiel soll diesen Sachverhalt näher beleuchten: Zunächst wählen wir eine Grundgesamtheit mit einer unbekannten Dichteverteilungsfunktion (z.B. eine bimodale Verteilung wie im Bild links). Dann nehmen wir eine zufällige Stichprobe von n Beobachtungen und berechnen deren Mittelwert. Wenn wir diesen Vorgang viele Male wiederholen und das Histogramm der Mittelwerte darstellen, werden wir sehen, dass das resultierende Histogramm einer Normalverteilung ähnlich sieht (siehe links unten). Auch wenn wir das Experiment mit einer anderen Verteilung wiederholen, bekommen wir wieder normalverteilte Mittelwerte. Wenn Sie selbst experimentieren wollen, klicken Sie auf das Bild links.

Dieses Beispiel zeigt die Konsequenzen des zentralen Grenzwertsatzes, der einer der wichtigsten Resultate in der Theorie der Statistik ist:

Wenn man eine zufällige Stichprobe von n Beobachtungen aus einer beliebigen Grundgesamtheit nimmt, dann wird - wenn n ausreichend groß ist - die Verteilung des Stichprobenmittelwertes annähernd normal sein, mit einem Mittelwert gleich dem Mittelwert der Grundgesamtheit und einer Standardabweichung von der Standardabweichung der Grundgesamtheit.

Die Mindestgröße einer Stichprobe um normalverteilte Mittelwerte zu erhalten, hängt von der Verteilungsfunktion der Grundgesamtheit ab. Im Allgemeinen, muss n für sehr asymmetrische Verteilungsfunktionen größer sein als für symmetrische unimodale Verteilungen. Für n größer als 30 wird man aber schon sehr gute Annäherungen an die Normalverteilung erhalten.

Hinweis:

Ein einfacher Trick, um eine normalverteilte Zufallsvariable numerisch zu erzeugen, ist, 16 Zahlen einer gleichförmigen Verteilung zu ziehen und die Mittelwerte durch 4 zu dividieren. Dieser Trick basiert auf den Konsequenzen des zentralen Grenzwertsatzes.