Wilcoxon-Vorzeichen-Rangtest für Paardifferenzen
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Beim Vergleich zweier verbundener Stichproben kommen im Wesentlichen zwei wichtige Tests in Frage: der Differenzen-t-Test für normalverteilten Differenzen und der Vorzeichen-Rang-Test von Wilcoxon bei nicht normalverteilten Differenzen.
Mit dem Wilcoxon-Test kann man prüfen, ob die Differenzen paarig angeordneter Beobachtungen symmetrisch um den Median verteilt sind (unter der Voraussetzung dass der Median der Differenzen gleich null ist). Wird die Nullhypothese abgelehnt, so sind entweder die Mediane nicht gleich, oder die Stichproben stammen aus unterschiedlichen Verteilungen.
Zur Durchführung wird zuerst die paarweise Differenz zwischen den beiden Gruppen mit jeweils N Beobachtungen gebildet und jene Paare weggelassen, deren Differenz null ist. Die restlichen M Differenzen werden nach ihrem Absolutwert sortiert und mit ihren Rangzahlen verknüpft. Rangzahlen, die zu gleichen Differenzen (Bindungen) gehören, werden gemittelt. Danach summiert man die Rangzahlen aller positiver Differenzen und die Rangzahlen aller negativen Differenzen. Die kleinere der beiden Summen ergibt die Testgröße W.
Die Nullhypothese ist abzulehnen, falls die Testgröße W die kritische Grenze Wα unterschreitet. Die kritischen Grenzen für zweiseitigen Fragestellungen bei einigen häufig benötigten Signifikanzniveaus sind in der folgenden Tabelle aufgelistet (entnommen aus McCornack 1965 ):
M |
α=0.1 |
α=0.05% |
α=0.02% |
α=0.01% |
α=0.001% |
6 | 2 | 0 | 0 | 0 | 0 |
7 | 3 | 2 | 0 | 0 | 0 |
8 | 5 | 3 | 1 | 0 | 0 |
9 | 8 | 5 | 3 | 1 | 0 |
10 | 10 | 8 | 5 | 3 | 0 |
11 | 13 | 10 | 7 | 5 | 0 |
12 | 17 | 13 | 9 | 7 | 1 |
13 | 21 | 17 | 12 | 9 | 2 |
14 | 25 | 21 | 15 | 12 | 4 |
15 | 30 | 25 | 19 | 15 | 6 |
16 | 35 | 29 | 23 | 19 | 8 |
17 | 41 | 34 | 27 | 23 | 11 |
18 | 47 | 40 | 32 | 27 | 14 |
19 | 53 | 46 | 37 | 32 | 18 |
20 | 60 | 52 | 43 | 37 | 21 |
21 | 67 | 58 | 49 | 42 | 25 |
22 | 75 | 65 | 55 | 48 | 30 |
23 | 83 | 73 | 62 | 54 | 35 |
24 | 91 | 81 | 69 | 61 | 40 |
25 | 100 | 89 | 76 | 68 | 45 |
26 | 110 | 98 | 84 | 75 | 51 |
27 | 119 | 107 | 92 | 83 | 57 |
28 | 130 | 116 | 101 | 91 | 64 |
29 | 140 | 126 | 110 | 100 | 71 |
30 | 151 | 137 | 120 | 109 | 78 |
31 | 163 | 147 | 130 | 118 | 86 |
32 | 175 | 159 | 140 | 128 | 94 |
33 | 187 | 170 | 151 | 138 | 102 |
34 | 200 | 182 | 162 | 148 | 111 |
35 | 213 | 195 | 173 | 159 | 120 |
36 | 227 | 208 | 185 | 171 | 130 |
37 | 241 | 221 | 198 | 182 | 140 |
38 | 256 | 235 | 211 | 194 | 150 |
39 | 271 | 249 | 224 | 207 | 161 |
40 | 286 | 264 | 238 | 220 | 172 |
41 | 302 | 279 | 252 | 233 | 183 |
42 | 319 | 294 | 266 | 247 | 195 |
43 | 336 | 310 | 281 | 261 | 207 |
44 | 353 | 327 | 296 | 276 | 220 |
45 | 371 | 343 | 312 | 291 | 233 |
46 | 389 | 361 | 328 | 307 | 246 |
47 | 407 | 378 | 345 | 322 | 260 |
48 | 426 | 396 | 362 | 339 | 274 |
49 | 446 | 415 | 379 | 355 | 289 |
50 | 466 | 434 | 397 | 373 | 304 |
51 | 486 | 453 | 416 | 390 | 319 |
52 | 507 | 473 | 434 | 408 | 335 |
53 | 529 | 494 | 454 | 427 | 351 |
54 | 550 | 514 | 473 | 445 | 368 |
55 | 573 | 536 | 493 | 465 | 385 |
56 | 595 | 557 | 514 | 484 | 402 |
57 | 618 | 579 | 535 | 504 | 420 |
58 | 642 | 602 | 556 | 525 | 438 |
59 | 666 | 625 | 578 | 546 | 457 |
60 | 690 | 648 | 600 | 567 | 476 |
61 | 715 | 672 | 623 | 589 | 495 |
62 | 741 | 697 | 646 | 611 | 515 |
63 | 767 | 721 | 669 | 634 | 535 |
64 | 793 | 747 | 693 | 657 | 556 |
65 | 820 | 772 | 718 | 681 | 577 |
66 | 847 | 798 | 742 | 705 | 599 |
67 | 875 | 825 | 768 | 729 | 621 |
68 | 903 | 852 | 793 | 754 | 643 |
69 | 931 | 879 | 819 | 779 | 666 |
70 | 960 | 907 | 846 | 805 | 689 |
71 | 990 | 936 | 873 | 831 | 712 |
72 | 1020 | 964 | 901 | 858 | 736 |
73 | 1050 | 994 | 928 | 884 | 761 |
74 | 1081 | 1023 | 957 | 912 | 786 |
75 | 1112 | 1053 | 986 | 940 | 811 |
76 | 1144 | 1084 | 1015 | 968 | 836 |
77 | 1176 | 1115 | 1044 | 997 | 862 |
78 | 1209 | 1147 | 1075 | 1026 | 889 |
79 | 1242 | 1179 | 1105 | 1056 | 916 |
80 | 1276 | 1211 | 1136 | 1086 | 943 |
81 | 1310 | 1244 | 1168 | 1116 | 971 |
82 | 1345 | 1277 | 1200 | 1147 | 999 |
83 | 1380 | 1311 | 1232 | 1178 | 1028 |
84 | 1415 | 1345 | 1265 | 1210 | 1057 |
85 | 1451 | 1380 | 1298 | 1242 | 1086 |
86 | 1487 | 1415 | 1332 | 1275 | 1116 |
87 | 1524 | 1451 | 1366 | 1308 | 1146 |
88 | 1561 | 1487 | 1400 | 1342 | 1177 |
89 | 1599 | 1523 | 1435 | 1376 | 1208 |
90 | 1638 | 1560 | 1471 | 1410 | 1240 |
91 | 1676 | 1597 | 1507 | 1445 | 1271 |
92 | 1715 | 1635 | 1543 | 1480 | 1304 |
93 | 1755 | 1674 | 1580 | 1516 | 1337 |
94 | 1795 | 1712 | 1617 | 1552 | 1370 |
95 | 1836 | 1752 | 1655 | 1589 | 1404 |
96 | 1877 | 1791 | 1693 | 1626 | 1438 |
97 | 1918 | 1832 | 1731 | 1664 | 1472 |
98 | 1960 | 1872 | 1770 | 1702 | 1507 |
99 | 2003 | 1913 | 1810 | 1740 | 1543 |
100 | 2045 | 1955 | 1850 | 1779 | 1578 |
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