Chi-Quadrat-Test

Der einfachste Weg, um Verteilungen zu vergleichen, ist der visuelle. Wir legen das Histogramm der Daten und die theoretische Verteilungskurve übereinander und vergleichen die beiden optisch. Natürlich fehlt bei dieser Vorgangsweise jede statistische Rechtfertigung. Eine solide Methode, um empirische und bekannte (parametrische) Verteilungen zu vergleichen, ist der -Test.

Ein häufiges Problem dabei ist, dass die parametrischen Verteilungsfunktionen primär Wahrscheinlichkeiten und nicht Häufigkeiten angeben. Um die empirische und die theoretische Verteilung zu vergleichen, müssen wir die zu erwartenden Häufigkeiten durch Multiplizieren der theoretischen Wahrscheinlichkeiten mit der Anzahl der Proben abschätzen.

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Variable in ein Intervall [a_i,a_i+1] fällt, ergibt sich aus der Differenz der Wahrscheinlichkeiten für x kleiner a_i und x < a_i+1:

p(a_i < x < a_i+1) = p(x < a_i+1) - p(x < a_i)

Für jedes Intervall wird die quadrierte Differenz der Häufigkeiten der empirischen und der theoretischen Verteilung berechnet und durch die zu erwartenden Häufigkeiten dividiert. Die Summe dieser relativen oder gewichteten quadrierten Differenzen ist die -Testgröße. Als Nullhypothese wird angenommen, dass die zwei Verteilungen gleich und die Differenzen auf zufällige Fehler zurückzuführen sind.

 

Anmerkung:

Ein anderer wichtiger Punkt, den man nicht vergessen sollte, ist, dass die theoretischen Wahrscheinlichkeiten normalerweise für standardisierte Verteilungen tabelliert sind, d.h. Mittelwert gleich null und Standardabweichung gleich eins für die Normalverteilung. Also müssen wir für den -Test entweder das Histogramm standardisieren oder die Verteilungswahrscheinlichkeiten in Häufigkeiten umrechnen. Die Anzahl der geschätzten Parameter k hat einen Einfluss auf die Freiheitsgrade, die im -Test verwendet werden.