Cauchy-Verteilung

Author: Hans Lohninger

Definition
Eigenschaften	Die Verteilung ist um den Parameter a symmetrisch. Der Parameter b bestimmt die Breite der Verteilung Für die Cauchy-Verteilung sind die zentralen Momente nicht definiert, was eine Folge der nach außen hin nur langsam abfallenden Dichtefunktion ist (siehe auch Beispiel unten). Der Median und der Modus sind gleich dem Lageparameter a Setzt man die Parameter auf a=0 und b=1 so erhält man die Standard-Cauchy-Verteilung, die einer t-Verteilung mit einem Freiheitsgrad entspricht.
Grafische Darstellung	Die nebenstehende Abbildung zeigt Wahrscheinlichkeitsdichte der Cauchy-Verteilung für die Parameter a=1.5 und b=0.5
Anwendungen	Die Cauchy-Verteilung tritt relative selten auf. Beispiele für eine Cauchy-Verteilung: Der Quotient zweier normalverteilter Zufallszahlen ist Cauchy-verteilt. Die Cauchy-Verteilung tritt bei der Brown'schen Molekularbewegung in Erscheinung ("random walk")
Mittelwert	Der Mittelwert existiert nicht
Varianz	Die Varianz existiert nicht
Simulation	Das Programm Cauchy Verteilung berechnet die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen der Cauchy-Verteilung und ermöglicht die Berechnung des laufenden Mittelwerts sowie den Vergleich mit der Normalverteilung. Das folgende Beispiel wurde mit dieser Simulation berechnet.

Beispiel